最小生成树

最小生成树对应的图一般都是无向图

Prim 算法

朴素版 Prim 算法

时间复杂度：O(n2)O(n^{2})

适合稠密图

Prim 算法求最小生成树

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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N];
// d[i] 表示节点 i 到生成树的最短距离
int d[N];
bool st[N];

int n, m;

int prim() {
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    int res = 0;
    // 有 n 个节点，循环 n 次
    for(int i=0;i<n;i++) {
        int t = -1;
        // 找到不在生成树中，且距离当前生成树最近的点
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            if(!st[j] && (t == -1 || d[t] > d[j])) t = j;
        }
        // 如果图不连通，直接返回 INF
        if(i && d[t] == INF) return INF;
        // 将这个点纳入生成树节点集合，t 节点对应的到生成树距离最短的边就是新的生成树的边
        st[t] = true;
        if(i) res += d[t];
        // 用新加入生成树的点更新与其相连的、生成树外的点到生成树的最短距离
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            d[j] = min(d[j], g[t][j]);
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    while(m--) {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], w);
    }
    int t = prim();
    if(t == INF) cout << "impossible" << endl;
    else cout << t << endl;
    return 0;
}

堆优化 Prim 算法

时间复杂度：O(m⋅log(n))O(m \cdot log(n))

适合稀疏图，不太常用

Kruskal 算法

时间复杂度：O(m⋅log(m))O(m \cdot log(m))

适合稀疏图

算法步骤：

  1. 将所有边按照权重从小到大排序。O(m⋅log(m))O(m \cdot log(m))
  2. 枚举每条边。如果这条边的两个节点 a, b 不连通，将这条边加入最小生成树。
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#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 200010;

// 存储每条边，重载小于号，按照权重比较大小
struct Edge {
  int a, b, w;
  bool operator<(const Edge& W) const { return w < W.w; }
} e[M];

int p[M];
int n, m;

// 并查集 find 函数
int find(int x) {
  if (x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
  return p[x];
}
int main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    e[i] = {a, b, c};
  }
  // 将边按照从小到大排序
  sort(e, e + m);
  for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
  int res = 0, cnt = 0;
  // 枚举每条边
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    int a = e[i].a, b = e[i].b, w = e[i].w;
    // 检查这条边的两个点是否连通
    a = find(a), b = find(b);
    if (a != b) {
      p[a] = b;
      res += w;
      cnt++;
    }
  }
  if (cnt < n - 1)
    cout << "impossible" << endl;
  else
    cout << res << endl;
  return 0;
}

二分图

一个图是二分图当且仅当图中不含奇数环。

染色法

时间复杂度：O(m+n)O(m + n)

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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

// 因为是无向图，边数乘以 2
const int N = 100010, M = 200010;

// 邻接表
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int st[N];


void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

// 将节点 u 染成 color
bool dfs(int u, int color) {
    // 给当前点染色
    st[u] = color;
    // 遍历所有相邻节点
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        // 如果没有染色，就染相反的颜色
        if(!st[j]) {
            if(!dfs(j, 3 - color)) return false;
            // 如果已经染色，并且和当前节点颜色相同，返回 false，不是二分图
        } else if(st[j] == color) return false;
    }

    return true;
}
int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m --){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b,a);  // 无向图
    }

    bool flag = true;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        if(!st[i]){
            if(!dfs(i, 1)){
                flag = false;
                break;
            }
        }
    }

    if(flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

匈牙利算法

最坏时间复杂度：O(m⋅n)O(m \cdot n)

实际运行时间远小于 O(m⋅n)O(m \cdot n)

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 510, M = 1e5 + 10;
int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N];
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

// 寻找节点 x 能够匹配的节点
bool find(int x) {
    // 遍历与节点 x 相连的所有节点
    for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]) {
        int j = e[i];
        // 如果这个节点还没有被搜索过
        if(!st[j]) {
            st[j] = true;
            // 如果右半部分集合中的点还没有匹配或者能够更换匹配
            if(match[j] == 0 || find(match[j])) {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
    // 邻接表初始化头结点为 -1
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m--) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }
    int res = 0;
    // 遍历左半部分的所有节点
    for(int i=1;i<=n1;i++) {
        memset(st, false, sizeof st);
        if(find(i)) res++;
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}